Na matemática financeira, os juros são compostos quando são calculados sobre outras parcelas que já contêm juros. Ou seja, juros sobre juros.
Os juros compostos podem ser calculados para investimentos, quando se prevê que o rendimento do capital será reinvestido e acumulado ou para dívidas.
Esses juros se diferenciam dos juros simples, em que a incidência de juros ocorre somente no valor inicial e não sobre os juros decorrentes.
Como calcular juros compostos pela fórmula
Os juros compostos são calculados através do montante aplicado (ou em dívida) e multiplicados entre si através do prazo analisado em forma exponencial.
A fórmula utilizada no cálculo é a seguinte:
Em que:
- M: montante total do capital acumulado
- C: capital investido (valor inicial)
- i: taxa de juros fixa
- t: período de tempo
Para encontrar a parte correspondente aos juros, dentro do montante final M, basta utilizar a equação: J = M - C.
Ao colocar os valores na fórmula, devemos utilizar a taxa de juro na forma decimal, dividida por 100. Utilizamos 0,1 para uma taxa de 10%, por exemplo.
Além disso, a periodicidade da taxa de juros deve ser a mesma do tempo analisado. Em períodos de tempo mensais consideramos taxas de juros também mensais, em exercícios anuais utilizamos taxas de juros anuais, e assim por diante.
Exemplos
1. Encontrar o montante final
Uma aplicação de R$ 10 mil com taxa de juros mensal de 4% fica aplicado durante um período de 5 meses. Para calcularmos o montante final, consideramos a taxa de juro na forma decimal, que fica igual a 0,04. O resultado fica:
Para percebermos como os juros são calculados sobre outras parcelas que já contêm juros, basta olharmos mês a mês como fica a aplicação:
| Mês | C | Fórmula | M | Juros de cada mês |
|---|---|---|---|---|
| 1 | R$ 10.000,00 | 10.000,00×(1+0,04) | R$ 10.400,00 | R$ 400,00 |
| 2 | R$ 10.400,00 | 10.400,00×(1+0,04) | R$ 10.816,00 | R$ 416,00 |
| 3 | R$ 10.816,00 | 10.816,00×(1+0,04) | R$ 11.248,64 | R$ 432,64 |
| 4 | R$ 11.248,64 | 10.000,00×(1+0,04) | R$ 11.698,59 | R$ 449,95 |
| 5 | R$ 11.698,59 | 10.000,00×(1+0,04) | R$ 12.166,53 | R$ 467,94 |
No final, os juros totalizam R$ 2.166,53, somados pela última coluna ou por:
J = M - C
J = 12.166,53 - 10.000,00 = 2.166,53
2. Encontrar a taxa de juros
Desejamos agora encontrar a taxa de juros em uma aplicação de 5 meses em que se sabe que o montante final é de R$ 10 mil e o investimento inicial foi de R$ 5 mil.
A incógnita da fórmula passa a ser a taxa de juros mensal e o cálculo fica:
Multiplicando o valor encontrado por 100, temos a taxa de juros mensal: 14,87%.
3. Encontrar o período de tempo
Uma aplicação financeira tem valor inicial de R$ 3.400 à taxa de juros mensal de 4%. Queremos saber em quanto tempo o investimento pode retornar o dobro do que foi investido, ou seja, um valor final de R$ 6.800.
Aplicando os valores na fórmula, devemos fazer:
O tempo para esta aplicação deve ser maior que 17 meses, sendo que no 18º mês a proporção deve ser a mesma das casas decimais do valor encontrado.
Nesse caso, a taxa de juros mensal deste último mês terá um valor efetivo menor do que 4%, podendo ser calculada para a proporção de 0,67298769:
Multiplicando por 100, temos uma taxa de juros aproximada de 2,675%. Os valores da aplicação para cada mês ficam como na tabela abaixo:
| Mês | Valor inicial | Fórmula | Valor Final | Juros de cada mês |
|---|---|---|---|---|
| 1 | R$ 3.400,00 | 3.400,00×(1+0,04) | R$ 3.536,00 | R$ 136,00 |
| 2 | R$ 3.536,00 | 3.536,00×(1+0,04) | R$ 3.677,44 | R$ 141,44 |
| 3 | R$ 3.677,44 | 3.677,44×(1+0,04) | R$ 3.824,54 | R$ 147,10 |
| 4 | R$ 3.824,54 | 3.824,54×(1+0,04) | R$ 3.977,52 | R$ 152,98 |
| 5 | R$ 3.977,52 | 3.977,52×(1+0,04) | R$ 4.136,62 | R$ 159,10 |
| 6 | R$ 4.136,62 | 4.136,62×(1+0,04) | R$ 4.302,08 | R$ 165,46 |
| 7 | R$ 4.302,08 | 4.302,08×(1+0,04) | R$ 4.474,17 | R$ 172,08 |
| 8 | R$ 4.474,17 | 4.474,17×(1+0,04) | R$ 4.653,13 | R$ 178,97 |
| 9 | R$ 4.653,13 | 4.653,13×(1+0,04) | R$ 4.839,26 | R$ 186,13 |
| 10 | R$ 4.839,26 | 4.839,26×(1+0,04) | R$ 5.032,83 | R$ 193,57 |
| 11 | R$ 5.032,83 | 5.032,83×(1+0,04) | R$ 5.234,14 | R$ 201,31 |
| 12 | R$ 5.234,14 | 5.234,14×(1+0,04) | R$ 5.443,51 | R$ 209,37 |
| 13 | R$ 5.443,51 | 5.443,51×(1+0,04) | R$ 5.661,25 | R$ 217,74 |
| 14 | R$ 5.661,25 | 5.661,25×(1+0,04) | R$ 5.887,70 | R$ 226,45 |
| 15 | R$ 5.887,70 | 5.887,70×(1+0,04) | R$ 6.123,21 | R$ 235,51 |
| 16 | R$ 6.123,21 | 6.123,21×(1+0,04) | R$ 6.368,14 | R$ 244,93 |
| 17 | R$ 6.368,14 | 6.368,14×(1+0,04) | R$ 6.622,86 | R$ 254,73 |
| 18 | R$ 6.622,86 | 6.622,86×(1+0,02675) | R$ 6.800,00 | R$ 177,14 |
Se tiver dúvidas, saiba como calcular um logaritmo.
Como calcular juros compostos no Excel e na HP 12C
O cálculo de juros compostos pode se tornar muito mais fácil quando recorremos à tecnologia. Para isso, podemos utilizar folhas de cálculo no Microsoft Excel ou uma calculadora financeira, como a HP 12C.
Excel
Através de uma planilha do Excel, é possível encontrar o montante final aplicando a mesma fórmula de juros compostos.
Para facilitar o processo, preencha cada valor em uma linha e aplique a fórmula na célula correspondente, como no exemplo para a célula B4:
Outra forma de encontrar os valores desejados é por meio das funções do Excel. Veja alguns exemplos:
- "VF" para encontrar o montante final (Valor Futuro)
- "VP" para encontrar o valor inicial (Valor Presente)
- "TAXA" para encontrar a taxa de juros
- "NPER" para encontrar o período de tempo
Lembrando que, para o Excel, o valor inicial se escreve como um valor negativo, pois representa uma "saída" do fluxo de caixa.
HP 12c
O cálculo pela calculadora financeira HP 12c é ainda mais imediato, pois ela já é programada para este tipo de cálculo.
Para calcular o montante final, basta seguir os passos:
- Digitar o valor inicial → CHS → PV
- Digitar o período da aplicação → n
- Digitar a taxa de juros em valor inteiro → i
- Encontre o montante final clicando em FV.
O mesmo serve para quando se sabe o montante final, mas não a taxa de juros ou o período da aplicação. Basta deixar por último a tecla correspondente para o valor que deseja encontrar.
Veja como ficam os passos para calcular o montante final com 5% de juros anuais, valor inicial de R$ 1.000 e prazo de 3 anos:
- 1.000 → CHS → PV
- 5 → i
- 3 → n
- Descobrimos o montante final pressionando em FV
O valor que aparece na tela é de R$ 1.157,63 e representa o montante final calculado.
Diferenças entre juros compostos e juros simples
Ao contrário dos juros compostos, os juros simples aplicam-se apenas ao valor inicial e crescem de maneira constante durante o período calculado.
A fórmula dos juros simples para o montante acumulado também é diferente:
Neste caso, os juros são apenas multiplicados pelo período em que se vai considerar. A parcela que corresponde aos juros é calculada facilmente como:
- J: Juros
- C: capital investido (inicial)
- i: taxa de juros fixa
- t: período de tempo analisado
Os juros simples crescem de maneira linear enquanto os juros compostos crescem de maneira exponencial.
Além disso, os juros compostos são menores em períodos menores que a unidade. Se a taxa de juros é anual, os juros compostos são menores quando calculados para períodos inferiores a 1 ano se comparados com os juros simples.
Na tabela temos um exemplo de cálculo para o montante final, para um investimento inicial de R$ 100.000 e taxa de juros anual de 4%, calculados por trimestres.
| Período de cálculo | Juros simples | Juros compostos |
|---|---|---|
| 3 meses | R$ 101.000,00 | R$ 100.985,34 |
| 6 meses | R$ 102.000,00 | R$ 101.980,39 |
| 9 meses | R$ 103.000,00 | R$ 102.985,24 |
| 1 ano | R$ 104.000,00 | R$ 104.000,00 |
| 1 ano e 3 meses | R$ 105.000,00 | R$ 105.024,75 |
| 1 ano e 6 meses | R$ 106.000,00 | R$ 106.059,61 |
| 1 ano e 9 meses | R$ 107.000,00 | R$ 107.104,65 |
| 2 anos | R$ 108.000,00 | R$ 108.160,00 |
Quando o investimento atinge 1 ano os valores são os mesmos, até que o crescimento exponencial dos juros compostos faz com que o investimento seja muito mais rentável.
Por outro lado, os juros compostos podem prejudicar as finanças quando se tratam de dívidas. É o caso dos juros do rotativo do cartão de crédito, por exemplo. Quer saber mais? Entenda como calcular os juros do rotativo do cartão de crédito.